Kelly-Kriterium

Einsteiger-Block

Eine Münze zeigt zu 60 % Kopf. Einsatz frei wählbar, Gewinn bei Kopf 1:1, Verlust bei Zahl 100 % vom Einsatz. Kelly sagt: setze 20 % deines Kapitals, nicht 50 %, nicht 100 %.

Warum nicht mehr? Bei 100 % Einsatz pro Runde reicht ein einziges Mal Zahl, um alles zu verlieren. Selbst bei 50 % schrumpft das Kapital nach mehreren Verlustserien so stark, dass die guten Runden den Schaden nicht mehr aufholen können. Kelly optimiert das geometrische Mittel über viele Wetten hinweg, nicht den Erwartungswert einer einzelnen.

Im Investitionskontext bedeutet das: Auch wenn Aktien langfristig 7 % erwartete Rendite haben, ist „alles in einen Wert” niemals Kelly-optimal, sondern nur eine breite Streuung mit kalkulierter Einzelposition.

Formel und Berechnung

Für eine binäre Wette (Gewinn oder Totalverlust):

f* = (b × p − q) / b

• f* = optimaler Kapitalanteil
• b = Auszahlungsquote (1 = 1:1, 2 = 2:1)
• p = Gewinnwahrscheinlichkeit
• q = 1 − p

Beispiel: Wette zahlt 2:1 (b = 2), Gewinnwahrscheinlichkeit 50 % (p = 0,5). f* = (2 × 0,5 − 0,5) / 2 = 0,25. Kelly empfiehlt 25 % Einsatz.

Für stetige Renditen (z. B. Aktien) gilt die kontinuierliche Variante: f* ≈ (μ − r) / σ². Mit μ als erwarteter Rendite, r als risikofreiem Zins und σ als Volatilität. Bei μ = 8 %, r = 2 %, σ = 18 % ergibt sich f* = 0,06 / 0,0324 ≈ 1,85. Das heißt: Bei den eigenen Schätzungen wäre theoretisch eine Hebelung um Faktor 1,85 optimal, also ein Aktienportfolio mit 185 % Investitionsgrad.

Full Kelly vs. Half Kelly in der Praxis

Full Kelly ist mathematisch optimal, aber in der Realität zu aggressiv. Drei Gründe:

• Schätzfehler sind asymmetrisch: Wer p oder b nur leicht überschätzt, geht weit über Kelly hinaus. Wer leicht unterschätzt, gibt etwas Rendite auf, das ist aber kein Drama. Der Schaden ist nicht symmetrisch verteilt.
• Drawdowns sind brutal: Selbst bei korrektem Full Kelly liegt der typische maximale Kapitalrückgang bei rund 50 %. Wer das nicht durchsteht, kapituliert in genau dem Moment, in dem Kelly nachfedern würde.
• Reale Renditen sind nicht normalverteilt: Fat Tails und Schocks vergrößern den realen Drawdown gegenüber dem theoretischen Modell.

Half Kelly (also 0,5 × f*) liefert rund 75 % der Wachstumsrate bei nur einem Viertel des Drawdown-Risikos. Die alte Investorenregel lautet entsprechend: „When in doubt, use Half-Kelly.” Edward Thorp, einer der bekanntesten Praktiker des Kriteriums, empfiehlt für Aktienmärkte sogar Fractional Kelly mit Faktor 0,25 bis 0,3.

Häufige Missverständnisse

„Kelly maximiert die erwartete Rendite.” Falsch. Kelly maximiert den geometrischen Erwartungswert (Median des Endkapitals), nicht den arithmetischen Erwartungswert. Wer den arithmetischen Erwartungswert maximieren will, muss 100 % bei jeder positiven Wette setzen und ist beim ersten Verlust ruiniert.

„Wenn die Edge größer ist, ist auch der optimale Einsatz unbegrenzt höher.” Auch Edge bringt eine Obergrenze: f* ist mathematisch nie über 1 (außer mit Hebel). Bei einer Edge von 50 % und 1:1-Auszahlung wäre f* = 0,5, also 50 % Einsatz. Mehr ist nie sinnvoll, egal wie sicher die Edge erscheint.

„Kelly ist für Aktienmärkte irrelevant.” Auch hier gilt das Kriterium, aber in der kontinuierlichen Form mit Volatilität als Risikomaß. Praktische Anwendung: Wer eine Strategie mit einer Sharpe Ratio von 1,0 und 15 % Volatilität fährt, sollte den Investitionsgrad auf etwa 100 % begrenzen. Höhere Hebelung kostet langfristig Kapital, selbst wenn die Sharpe Ratio konstant bleibt.