Geometrische vs. arithmetische Rendite

Einsteiger-Block

Du investierst 10.000 Euro. Im ersten Jahr steigt das Depot um 50 %, auf 15.000 Euro. Im zweiten Jahr fällt es um 50 %, auf 7.500 Euro. Wie hoch war deine durchschnittliche Jahresrendite? Arithmetisch: (50 % + (-50 %)) / 2 = 0 %. Klingt neutral, als hättest du nichts verloren. Tatsächlich hast du 2.500 Euro verloren, also 25 % deines Startkapitals. Das ist die geometrische Rendite: -13,4 % pro Jahr. Die arithmetische Rendite von 0 % beschreibt keinen realen Zustand, sie ist eine Rechenhilfe ohne Aussagekraft für tatsächliche Kapitalentwicklung.

Der Unterschied in Zahlen

Beispiel 1: Extremfall

Jahr	Rendite	Kapital
Start	–	10.000 €
Jahr 1	+50 %	15.000 €
Jahr 2	-50 %	7.500 €

• Arithmetische Rendite: 0,0 % p.a.
• Geometrische Rendite (CAGR): -13,4 % p.a.
• Tatsächlicher Vermögensverlust: -2.500 €

Beispiel 2: Realistisches Szenario

Fünf Jahresrenditen eines ETF: +15 %, -5 %, +12 %, +3 %, +22 %

• Arithmetisches Mittel: (15 - 5 + 12 + 3 + 22) / 5 = 9,4 % p.a.
• Geometrisches Mittel (CAGR): (1,15 × 0,95 × 1,12 × 1,03 × 1,22)^(1/5) - 1 = 8,99 % p.a.
• Aus 10.000 € wurden: 15.376 €

Wer die arithmetischen 9,4 % auf 10.000 € für 5 Jahre hochrechnet, kommt auf 15.600 Euro. Das sind 224 Euro mehr als tatsächlich vorhanden. Bei längeren Zeiträumen und höherer Volatilität wird diese Abweichung erheblich größer.

Warum arithmetische Renditen trotzdem verwendet werden

Arithmetische Renditen haben ihren Platz in der Finanzwissenschaft, aber einen anderen:

Sie werden für erwartete Zukunftsrenditen verwendet, weil der Erwartungswert eines stochastischen Prozesses das arithmetische Mittel ist, nicht das geometrische. Wenn ein Analyst sagt: „Der Aktienmarkt hat eine erwartete Rendite von 10 %”, meint er das arithmetische Mittel der möglichen Einperioden-Renditen. Das ist methodisch korrekt.

Für die Beschreibung vergangener Kapitalentwicklung ist ausschließlich die geometrische Rendite (CAGR) relevant.

Fortgeschrittene-Ebene

Die Mathematik hinter dem Unterschied

Für ein Portfolio mit Renditen r_1, r_2, ..., r_n gilt:

• Arithmetisches Mittel: ā = (r_1 + r_2 + ... + r_n) / n
• Geometrisches Mittel: g = [(1+r_1)(1+r_2)...(1+r_n)]^(1/n) - 1

Die Beziehung zwischen beiden: g ≈ ā - σ²/2, wobei σ² die Varianz der Renditen ist. Die geometrische Rendite ist immer kleiner oder gleich der arithmetischen, und der Unterschied wächst mit der Volatilität. Das ist der sogenannte Volatility Drag: Hohe Volatilität frisst Rendite, auch bei gleichem arithmetischen Durchschnitt.

Volatility Drag quantifiziert

Bei einer Standardabweichung von 20 % (typisch für einen globalen Aktien-ETF) beträgt der Volatility Drag ca. 0,5 × 0,20² = 2 % pro Jahr. Das bedeutet: Ein ETF mit arithmetischer Erwartungsrendite von 10 % liefert eine geometrische Rendite (tatsächliche CAGR) von ca. 8 %. Dieser Unterschied von 2 % pro Jahr kumuliert sich über 30 Jahre zu einer erheblichen Kapitalabweichung.

Bei Leverage-ETFs mit doppelter Hebelwirkung verdoppelt sich die Volatilität, und der Volatility Drag vervierfacht sich. Das ist der rechnerische Hauptgrund, warum Leverage-ETFs langfristig oft schlechter abschneiden als der doppelte Hebel erwarten ließe.

Fehlinterpretation 1: „Die CAGR zeigt meinen jährlichen Gewinn.”

Die CAGR ist keine tatsächlich erzielte Jahresrendite. Sie ist der gleichmäßige Wachstumsfaktor, der Anfang- und Endwert verbindet. Im Beispiel mit 15.376 Euro am Ende bedeutet CAGR 8,99 %, dass du in jedem Jahr 8,99 % hättes verdienen müssen, um zum selben Endwert zu kommen. Tatsächlich waren deine Jahresrenditen +15 %, -5 %, +12 %, +3 %, +22 %.

Fehlinterpretation 2: „Finanzprodukte, die hohe Durchschnittsrenditen zeigen, sind besser.”

Wenn nicht angegeben ist, ob arithmetische oder geometrische Rendite gemeint ist, ist Vorsicht geboten. Arithmetische Renditen werden häufig für Marketing verwendet, weil sie höher wirken. Die CAGR ist die ehrlichere Kennzahl für den Vergleich langfristiger Investments.